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TRIGONOMETRIA

Cuando se trabaja con una linea y el palno cartesiano se forma un triangulo rectangulo, es decir , un triangulo que forma un angulo de 90º.

Si la recta es paralela al eje X o al eje Y, no forma un triangulo.

Para buscar elpunto de corte con el eje Y, es lo mismo que hallar la 'b'.

Para hallar el punto de corte con el eje X se le coloca cero(0) a la Y en la ecuacion original.

Los angulos internos de un triangulo suman 108º.

Para hallar el valor de los angulos ya se sabe que un vale 90º, entonces se busca otro y el valor que de se suma con 90 y ese resultado se le resta a 180y el valor que le de es lo que mide el otro angulo.

Para hallar el valor de los angulos se deben saber dos pendientes .La formula para hallar el valor de los angulos es:

tang A = m_1 - m_2/1+ m_1*m_2

Otra forma para saber cuanto miden los angulos es buscando las distacias.

seno = sen
coseno = cos
cateto = cat
hipotenusa = hip
opuesto = op
adyacente = ady

Formulas para hallar los angulos sabiendo las distancias:

sen A = cat op/hip
cos A = cat ady/hip

Ejemplo



































punto de corte con el eje Y: (0,4)
punto de corte con el eje X: (0,5)

pendientes:
horizontal: 0
vertical : indefinida
diagonal: -0.8

distancias:
AB: 6.4
BC: 5
AC: 4

angulos:
D= 90º
E= 51.34º
F= 38.66º

LINEAS OBLICUAS

LINEAS OBLICUAS













CARACTERÍSTICAS

• Cuando la pendiente aumenta el ángulo disminuye.
• Cuando la pendiente disminuye el ángulo aumenta.
• En las lineas oblicuas las pendientes tienen que ser diferentes.
• Cuando b_1 es menor que la b aumenta (x) y (y) de la intersección.
• Cuando b_1 es mayor que b disminuye (x) y (y) de la intersección.
• Si los puntos de corte son iguales este no cambia lo único que cambia es la pendiente.

TIPO DE EJERCICIOS

1. se dan: las dos pendientes y una b. Se debe hallar: la otra b, las dos ecuaciones, el ángulo y el punto de intersección
2. se dan: las dos b y una pendiente. Se debe hallar: la otra pendiente, las dos ecuaciones, el ángulo y el punto de intersección
3. se dan: una ecuación, las dos b. Se debe hallar: la otra pendiente, la otra ecuación, el ángulo y el punto de intersección.

EJEMPLO

1.) -0.4x + y = 7.4
2.) -2.5x + y = 8.7

Hallar:

m_1: y = 0.4x + 7.4 - directam_2: y = 2.5x + 8.7 - directa
punto de corte de la 1: (0,7.4)
punto de corte de la 2: (0,8.7)
intersección:

x= (7.4*1 y 8.7*1)/(-0.4*1 y -2.5*1) = 7.4-8.7/0.4+2.5 = -1.3/-2.1 = 0.62
y= (-0.4*8.7 y -2.5*7.4) / (-0.4*1 y -2.5*1) = -3.48+18.5/-0.4+2.5 = -15.02/-2.1 = 7.15
ángulo

tang B = m_1 - m_2/1 + m_1 * m_2
tang B = 0.4 - 2.5/1 + (0.4)(2.5)
tang B = -2.1/1+1
tang B = -1.05
ángulo= -1.74

RECTAS PERPENDICULARES

RECTAS PERPENDICULARES



CARACTERISTICAS

1. no tienen la misma pendiente: m1 * m2 = -1
2. forman angulos de 90º

Ejemplos:

a. 2x + y = 5
y = -2x + 5

(-1,4) punto por el que pasa la ecuacion perpendicular

m1 * m2 = -1
-2 * m2 = -1
m2 = -1/-2
m2 = 1/2

4 = 1/2(-1) + b
4 = -1/2 + b
8+1/2 = b
9/2 = b

y = 1/2x + 9/2
-x + 2y = 9

RECTAS PARALELAS

RECTAS PARALELAS

• dos rectas paralelas tienen la misma pendiente: m1 = m2
  
• dos rectas paralelas nunca se cruzan
• siempre tienen la misma distancia
  

Ejemplos:

2x + y = 5
y = -2x + 5

(-1,4) punto por el que pasa la ecuacion paralela
m1 = m2 = -2

lo principal que se debe tener para hallar una ecuacion paralela a una que nos dan es el punto por el que pasa

4 = -2(-1) + b
4 = 2 + b
4 - 2 = b
2 = b

y = -2x + 2
2x + y = 2

EJERCICIOS OPCIONALES DE LA RECTA

Ejercicios de Rectas en el Plano

1. Encuentre la ecuacion de la recta que:

(a) Pasa por los puntos (2,3) y (-2,-1).

m = y2-y1/x2-x1
m = -1-3/-2-2
m = -4/-4
m = 1

y = mx+b
3 = 1(2)+b
3 = 2+b
3-2 = b
1 = b

y = x + 1
x - y = -1

(b) Pasa por los puntos (-2, 1/4 ) y (1,-1).

m = -1-1/4 / 1-(-2)
m = -4-4/4 /1+2
m = -5/4 / 3
m = -5/12

-1 = -5/12(1)+b
-1 = -5/12+b
-12+5/12 = b
-7/12 = b

y = -5/12x - 7/12
5/4x + 3y = -7/4

(c)Pasa por el punto (5,2) y por el origen.

(5,2) y (0,0)

m = 0-2/0-5
m = -2/-5
m = 2/5

2 = 2/5(5) + b
2 = 10/5 + b
10-10/5 = b
0 = b

y = 2/5x + 0
-2x + 5y = 0

(d) Pasa por el punto (0,-4) y es paralela a la recta l1 : x-1/3y+1 = 0.

3x - y + 3 = 0
3x - y = -3
y = 3x + 3

y = mx + b
-4 = 3(0) + b
-4 = b

y = 3x - 4
3x - y = -4

(e) Pasa por el punto (-1,4) y es paralela a la recta l1 : 3x-1/2y-1 = 0.

6x - y - 2 = 0
6x - y = 2
y = 6x + 2

y = mx + b
4 = 6(-1) + b
4 = -6 + b
4 + 6 = b
10 = b

y = 6x + 10
6x - y = 10

EJERCICIOS EN REEMPLAZO DE LA CLASE DE 5 DE MARZO

EJERCICIOS: RECTAS PERPENDICULARES

1. 2x - 5y = 8
(7,-3) punto por el cual pasa la perpendicular a la ecuacion dada

formula general
2x - 5y = 8
formula simplificada
y = 2/5x - 8/5

m1 * m2 = -1
2/5 * m2 = -1
m2 = -1/2/5
m2 = -5/2

-3 = -5/2(7) + b
-3 = -35/2 + b
-6 + 35/2 = b
29/2 = b

formula general
5x + 2y = 29
formula simplificada
y = -5/2 + 29/2

2. x + 3y - 6 = 0
(1,-2)punto por el cual pasa la perpendicular a la ecuacion dada

formula general
x + 3y = 6
formula simplificada
y = -1/3 + 2

m1 * m2 = -1
-1/3 * m2 = -1
m2 = -1/-1/3
m2 = 3

-2 = -3(1) + b
-2 + 3 = b
1 = b

formula general
y = 3x + 1
formula simplificada
-3x + y = 1

3. x - 2y = 6
(-3,0)punto por el cual pasa la perpendicular a la ecuacion dada

formula general
x - 2y = 6
formula simplificada
y = 1/2x - 3

m1 * m2 = -1
1/2 * m2 = -1
m2 = -1/1/2
m2 = -2

0 = -2(-3) + b
-6 = b

formula general
2x + y = -6
formula simplificada
y = -2x - 6

4. 4x - 5y - 6 = 0
(-1,4)punto por el cual pasa la perpendicular a la ecuacion dada

formula general
4x - 5y = 6
formula simplificada
y = 4/5x - 6/5

m1 * m2 = -1
4/5 * m2 = -1
m2 = -1/4/5
m2 = -5/4

4 = -5/4(-1) + b
16-5/4 = b
11/4 = b

formula general
5x + 4y = 11
formula simplificada
y = -5/4 + 11/4

5. 4x + 3y - 12 = 0
(5,0)punto por el cual pasa la perpendicular a la ecuacion dada

formula general
4x + 3y = 12
formula simplificada
y = -4/3x + 4

m1 * m2 = -1
-4/3 * m2 = -1
m2 = -1/-4/3
m2 = 3/4

0 = 3/4(5) + b
0 = 15/4 + b
-15/4 = b

formula general
-3x + 4y = -15
formula simplificada
y = 3/4x - 15/4

EJERCICIOS EN REEMPLAZO DE LA CLASE DEL 5 DE MARZO

EJERCICIOS: RECTAS PARALELAS

1. -10x + 2y - 6 = 0
punto por el que pasa la paralela a esta ecuación (-1,2)

formula general
-10x + 2y = 6
-5x + y = 6
formula simplificada
y = 5x + 3

2 = 5(-1) + b
2 = -5 + b
2 + 5 = b
7 = b

formula general
-10 + 2y = 14
-5x + y = 7
fórmula simplificada
y = 5x + 7


2. 2x + 3y = 5
punto por el que pasa la paralela a esta ecuación (4,-3)

formula general
2x + 3y =5
formula simplificada
y = -2/3x + 5/3

-3 = -2/3(4) + b
-3 = -8/3 + b
-9 + 8/3 = b
-1/3 = b

formula general
2x + 3y = -1
formula simplificada
y = -2/3 - 1/3

3. -6x - 2y + 19 = 0
punto por el que pasa la paralela a esta ecuación (3,-2)

formula general
-6x - 2y = -19
formula simplificada
y = -3x + 19/2
y= -3x + 9.5

-2 = -3(3) + b
-2 = -9 + b
-2 + 9 = b
7 = b

formula general
-6x - 2y = -14
formula simplificada
y= -3x + 7

4. 2x + 3y - 6 = 0
punto por el que pasa la paralela a esta ecuación (-2,-3)

formula general
2x + 3y = 6
formula simplificada
y = -2/3 + 2

-3 = -2/3(-2) + b
-3 = 4/3 + b
-9-4/3 = b
-13/3 = b

formula general
2x + 3y = -13
formula simplificada
y = -2/3 - 13/3

5. 4x − 2y − 4 = 0
punto por el que pasa la paralela a esta ecuación (2,-3)

Formula general
4x - 2y = 4
2x - y = 2
formula simplificada
y = 2x - 2

-3 = 2(2) + b
-3 = 4 + b
-3 - 4 = b
-7 = b

Formula general
4x - 2y = 14
2x - y = 7
formula simplificada
y = 2x - 7

FIGURA INVENTADA - 19 DE FEBRERO

CONCLUSIONES

Realizando este trabajo pude ver la similitud que hay entre algunas de las lineas, algunas son paralelas, tienen igual distancia ej:

• el segmento (B,C) es paralela al segmento (A,D)
• la distancia de (L,K) es igual a la de (M,N)
• lo que diferencia la pendiente de (A,E) de (F,D) es que la primera es positiva y la segunda negativa

Comparandolo con el ejercicio anterior se puede decir que en ambos hay lineas paralelas, que en las dos se encuentran puntos que tienen la misma distancia.